過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和3年度入試では全部で５問出題されました。 そのうちの２番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
令和3年度(2021)一般入試[２]
問題
白球が30個，赤球が20個入った袋があるとき，次の問いに答えよ。ただし，\(\boxed{~⑧~} , ~\boxed{~⑩~}\)は，分母と分子が降べきの順に展開された1項の分数式で表せ。
- 袋の中から球を1個取り出し，色を調べてから取り出した球を袋に戻す操作を20回行うとき，白球が\(k\)回取り出される確率を\(~p_k~\)とすると，\(\dfrac{p_{k+1}}{p_k}=\boxed{~⑧~}\)であるから，確率\(~p_k~\)が最大となる\(~k~\)の値は\(k=\boxed{~⑨~}\)である。ただし，\(0 \leqq k \leqq 19~\)とする。
- 袋の中から球を1個取り出し，取り出した球は袋に戻さずに色を調べる操作を20回行うとき，白球が\(~k~\)個取り出される確率を\(~q_k~\)とすると，\(\dfrac{q_{k+1}}{q_k}=\boxed{~⑩~}\)であるから，確率\(~q_k~\)が最大となる\(~k~\)の値は\(k=\boxed{~⑪~}\)である。ただし，\(0 \leqq k \leqq 19~\)とする。
久留米一般（令和3年度入試）
解答
- 1回の試行で白球を取り出す確率は\(\dfrac35,~\)赤球を取り出す確率は\(\dfrac25\)であるから \begin{align*} p_k=&{}_{20} \mathrm{C}_k\left(\frac35 \right)^k \left(\frac25\right)^{20-k} \\ =&\frac{20!}{k!(20-k)!}\cdot \frac{3^k \cdot 2^{20-k}}{5^{20}} \end{align*} したがって \begin{align*} \frac{p_{k+1}}{p_k}=&\frac{20!}{(k+1)!(19-k)!}\cdot \frac{3^{k+1} \cdot 2^{19-k}}{5^{20}} \cdot \frac{k!(20-k)!}{20!}\cdot \frac{5^{20}}{3^k \cdot 2^{20-k}} \\ =&\frac{3(20-k)}{2(k+1)}\\ =&\frac{-3k+60}{2k+2} \cdots \textrm{（答）} \end{align*} ここで，\(\dfrac{p_{k+1}}{p_k}>1\)として \begin{align*} \frac{-3k+60}{2k+2} >& 1 \\ -3k+60 >& 2k+2 \\ k <& \frac{58}{5}=11+\frac35 \end{align*} したがって，\(0 \leqq k \leqq 11\)のとき \begin{align*} \frac{p_{k+1}}{p_k} > 1 \quad \Leftrightarrow \quad p_k <&p_{k+1} \\ \therefore~ p_0 < p_1 < p_2 < \cdots < p_{11} <& p_{12} \end{align*} \(12 \leqq k \leqq 19\)のとき \begin{align*} \frac{p_{k+1}}{p_k} < 1 \quad \Leftrightarrow \quad p_k >& p_{k+1} \\ \therefore~ p_{12} > p_{13} > p_{14} > \cdots > p_{19} >& p_{20} \end{align*} よって，\( p_0 < p_1 < \cdots < p_{11} < p_{12} > p_{13} > \cdots > p_{20} \)となるので，\(p_k~\)が最大となる\(~k~\)の値は\(~k=12 \cdots \textrm{（答）} \)である。
- 取り出した球は元に戻さないので，50個の中から20個を選ぶと考える。すべての事象は\({}_{50} \textrm{C}_{20}\)通りであり，そのうち白球が\(~k~\)個取り出される組合せは\({}_{30} \mathrm{C}_k \cdot {}_{20} \mathrm{C}_{20-k}\)通りあるから， \begin{align*} q_k=& \frac{{}_{30} \mathrm{C}_{k} \cdot {}_{20} \mathrm{C}_{20-k}}{{}_{50} \mathrm{C}_{20}} \\ =& \frac{30!}{k!(30-k)!} \cdot \frac{20!}{(20-k)!k!} \cdot \frac{20!30!}{50!} \\ =& \frac{(30!)^2(20!)^2}{(k!)^2(30-k)!(20-k)!50!} \end{align*} よって \begin{align*} \frac{q_{k+1}}{q_k}=& \frac{(30!)^2(20!)^2}{{(k+1)!}^2(29-k)!(19-k)!50!} \cdot \frac{(k!)^2(30-k)!(20-k)!50!}{(30!)^2(20!)^2} \\ =& \frac{(30-k)(20-k)}{(k+1)^2} \\ =& \frac{k^2-50k+600}{k^2+2k+1} \cdots \textrm{（答）} \end{align*} ここで，\(\dfrac{q_{k+1}}{q_k}>1\)として \begin{align*} \frac{k^2-50k+600}{k^2+2k+1} >& 1 \\ k^2-50k+600 >& k^2+2k+1 \\ k <& \frac{599}{52}=11+\frac{27}{52} \end{align*} したがって，\(0 \leqq k \leqq 11\)のとき \begin{align*} \frac{q_{k+1}}{q_k} > 1 \quad \Leftrightarrow \quad q_k <& q_{k+1} \\ \therefore~q_0~<~q_1~<~q_2~< \cdots <& q_{11}< q_{12} \end{align*} \(12 \leqq k \leqq 19\)のとき \begin{align*} \frac{q_{k+1}}{q_k} < 1 \quad \Leftrightarrow \quad q_k >& q_{k+1} \\ \therefore q_{12}>q_{13}>q_{14}> \cdots > q_{19}>&q_{20} \end{align*} よって，\(q_0 < q_1 < \cdots < q_{11} < q_{12} > q_{13}> \cdots >q_{20}\)となるので，\(q_k~\)が最大となる\(~k~\)の値は\(~k=12~ \cdots \textrm{（答）}\)である。
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