令和04年度(2022)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答（２／５）

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和04年度入試では全部で5問出題されました。 そのうちの２番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

令和04年度(2022)推薦入試[２]

問題

1. Aに1個，Bに2個，Cに3個を入れるとすると，その入れ方は \begin{align*} _6 \textrm{C} _1 \times _5\textrm{C} _2 \times _3\textrm{C} _3=60 \text{（通り）} \end{align*} どの箱に何個の球を入れるかは\( 3!=6 \)通りあるから，求める入れ方は \begin{align*} 60 \times 6 =360 \text{（通り）} \cdots \text{（答）} \end{align*}
2. Aに1個，Bに1個，Cに4個を入れるとすると，その入れ方は \begin{align*} _6 \textrm{C} _1 \times _5 \textrm{C} _1 \times _4 \textrm{C} _4=30 \text{（通り）} \end{align*} どの箱に何個の球を入れるかは\( \frac{3!}{2}=3 \)通りあるから，求める入れ方は \begin{align*} 30 \times 3 =90 \text{（通り）} \cdots \text{（答）} \end{align*}
3. 箱も球も区別できないので，個数のみを考慮して3つの組に分けると \begin{align*} (1,~1,~4),~(1,~2,~3),~(2,~2,~2) \end{align*} の3（通り）。\(\cdots \text{（答）}\)
4. 箱に区別があるとして球を2個ずつ入れる入れ方は \begin{align*} _6 \textrm{C} _2 \times _4 \textrm{C} _2 \times _2 \textrm{C} _2=90 \text{（通り）} \end{align*} 実際には箱に区別がないので，重複して数えている\( 3!=6~\)通りで割らなければならない。したがって求める場合の数は \begin{align*} \frac{90}{6}=15 \text{（通り）} \cdots \text{（答）} \end{align*}
5. 求める場合の数は，6個の〇を並べ、そのすき間5カ所のうちに仕切りを2カ所入れる入れ方と1対1に対応している。よって \begin{align*} _5 \textrm{C} _2 =10 \text{（通り）} \cdots \text{（答）} \end{align*}
6. (1),(2)で，区別のできる6個の球を区別できるA，B，Cの箱に「1個，2個，3個」入れる入れ方と「1個，1個，4個」入れる入れ方はそれぞれ360通り，90通りとわかっている。あとは，「2個，2個，2個」と入れる入れ方を数えればよい。
   それは，A，B，Cの順に2個ずつ入れると考えて \begin{align*} _6 \textrm{C} _2 \times _4 \textrm{C} _2 \times _2 \textrm{C} _2=90 \text{（通り）} \end{align*} したがって \begin{align*} 360+90+90=540 \textrm{（通り）} \cdots \text{（答）} \end{align*} 【別解】
   

   6個の球を，A,~B,~C, いずれかの箱に入れると考えると，球の入れ方は\(3^6=729\)通り。

   このうち，空き箱が2箱であるのは3通りである。

   空き箱が1箱であるのは，どの箱が空き箱かで3通りで，その一つ一つについて，球を2箱に入れる入れ方は\( 2^6-2=62\)通り，すなわち\(3 \times 62=186\)通りである。

   したがって求める場合の数は \( 729-(3+186)=540 \)（通り）\(\cdots \text{（答）}\)である。

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