令和04年度(2022)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答（４／５）

過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和04年度入試では全部で５問出題されました。 そのうちの４番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

令和04年度(2022)推薦入試[４]

問題

解答

1. 3点$\text{O},\text{A},\mathrm{B}$はすべて$z$座標が$0$であり，$xy$平面上の点であることがわかる。また，式の形から点$\text{R}$も$xy$平面上の点であることがわかる。
   点$\text{R}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(4,0,0)$とおくと， $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OR}}=& (s+t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(t+1)\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\ =& s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\ =& s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\end{array}$$ 線分$\text{OA},\text{OD}$の中点をそれぞれ$\text{M}(1,-1,0),\text{N}(2,0,0)$とする。
   $s\geqq 0,t\geqq 0,\frac{1}{2}\leqq s+t\leqq 1$より，$s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OD}}$で表される点の存在する範囲は，四角形$\text{ADNM}$の周上および内部である。点$\text{R}$の存在する領域は，この四角形$\text{ADNM}$を下図のように平行移動したものである。 よって，点$\text{R}$が存在する範囲は四角形$\cdots \text{（答）}$であり，その面積は$\text{△OAD}$の面積の$\frac{3}{4}$倍である。
   求める面積$S$は $$\begin{array}{rl}S=& \frac{3}{4}△\mathrm{OAD}\\ =& \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\\ =& 3\cdots \text{（答）}\end{array}$$
2. 点$\text{P}$について， $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=& (s+t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(t+1)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}\\ =& \overrightarrow{\mathrm{OR}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}\end{array}$$ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(0,0,1),0\leqq u\leqq 2$であるから，点$\text{P}$の存在範囲は，(1)で求めた四角形を底面として，それを$z$軸方向に0から2まで平行移動したときの通過領域である。その立体の高さは2であるから，求める体積は $$\begin{array}{r}3\times 2=6\cdots \text{（答）}\end{array}$$
3. 点$\text{Q}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(4,0,2)$とおくと，$|\overrightarrow{\mathrm{OE}}{|}^2=20$であるから $$\begin{array}{r}|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}{|}^2-2(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})+19\leqq 0 \\ |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}{|}^2-2(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+19\leqq 0 \\ |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}{|}^2-2\overrightarrow{\mathrm{OE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+19\leqq 0 \\ |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}{|}^2-2\overrightarrow{\mathrm{OE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+20\leqq 1 \\ |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OE}}{|}^2\leqq 1\end{array}$$ よって点$\text{Q}$は，中心が$\text{E}$で半径が1である球の球面および内部である。 点$\text{P}$が存在する範囲の四角柱の点$\text{E}$の周りの辺はすべて垂直に交わっている。よって，点$\text{P}$が存在する範囲と点$\text{Q}$が存在する範囲の共通部分は，半径1の球の体積の$\frac{1}{8}$である。よって求める体積は $$\begin{array}{r}\frac{4\pi }{3}\times \frac{1}{8}=\frac{\pi }{6}.\cdots \text{（答）}\end{array}$$

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