過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和04年度入試では全部で５問出題されました。 そのうちの４番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
令和04年度(2022)推薦入試[４]
問題
座標空間内に
\begin{align*}
\textrm{O}(0,~0,~0),~\textrm{A}(2,~-2,~0),~\textrm{B}(2,~2,~0),~\textrm{C}(0,~0,~1)
\end{align*}
を定め，点\(\textrm{P}\)は
\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(s+t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(t+1)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}},~s\geqq 0,~t\geqq 0,~\frac12 \leqq s+t \leqq 1,~0\leqq u \leqq 2
\end{align*}
を満たし，点\(\textrm{Q}\)は
\begin{align*}
|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2-2(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})+19\leqq 0
\end{align*}
を満たす。
- 点\(\textrm{R}\)が\(\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(s+t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(t+1)\overrightarrow{\mathrm{OB}},~s\geqq 0,~t\geqq 0,~\dfrac12 \leqq s+t \leqq 1~\)を満たすとき，点\(\textrm{R}\)が存在する範囲は\(\boxed{ ア ~}\)となり，その面積は\(\boxed{\Large\phantom{ppp}}\)である。ただし，\(\boxed{ ア ~}\)は「円，三角形，四角形，五角形」のいずれかで答えよ。
- 点\(\textrm{P}\)が存在する範囲は立体であり，その立体の体積は\(\boxed{\Large\phantom{ppp}}\)である。
- 点\(\textrm{Q}\)が存在する範囲は，中心の座標が\(\boxed{\Large\phantom{ppp}}\)であり，半径が\(\boxed{\Large\phantom{ppp}}\)である球の球面および内部であるから，点\(\textrm{P}\)が存在する範囲と点\(\textrm{Q}\)が存在する範囲の共通部分の体積は\(\boxed{\Large\phantom{ppp}}\)である。
久留米推薦（令和04年度入試）
解答
- 3点\(\textrm{O},~\textrm{A},~\mathrm{B}\)はすべて\(z~\)座標が\(0\)であり，\(xy\)平面上の点であることがわかる。また，式の形から点\(\textrm{R}\)も\(xy\)平面上の点であることがわかる。
点\(\textrm{R}\)について，\( \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(4,~0,~0)\)とおくと， \begin{align*} \overrightarrow{\mathrm{OR}}=& (s+t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(t+1)\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\ =& s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})+\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\ =& s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}} \end{align*} 線分\(\textrm{OA},~\textrm{OD}\)の中点をそれぞれ\(\textrm{M}(1,~-1,~0),~\textrm{N}(2,~0,~0)\)とする。
\(s \geqq 0,~t \geqq 0,~\frac12 \leqq s+t \leqq 1~\)より，\(s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OD}}\)で表される点の存在する範囲は，四角形\(\textrm{ADNM}\)の周上および内部である。点\(\textrm{R}\)の存在する領域は，この四角形\(\textrm{ADNM}\)を下図のように平行移動したものである。
よって，点\(\textrm{R}\)が存在する範囲は四角形\(\quad \cdots \text{（答）} \)であり，その面積は\(\textrm{△OAD}\)の面積の\(\frac34\)倍である。
求める面積\(S\)は \begin{align*} S=& \frac34 \mathrm{△OAD} \\ =& \frac34 \cdot \frac12 \cdot 4 \cdot 2 \\ =& 3 \qquad \cdots \text{（答）} \end{align*} - 点\(\textrm{P}\)について，
\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}=& (s+t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(t+1)\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u\overrightarrow{\mathrm{OC}} \\
=& \overrightarrow{\mathrm{OR}} +u\overrightarrow{\mathrm{OC}}
\end{align*}
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(0,~0,~1),~0 \leqq u \leqq 2~\)であるから，点\(\textrm{P}~\)の存在範囲は，(1)で求めた四角形を底面として，それを\(z~\)軸方向に0から2まで平行移動したときの通過領域である。その立体の高さは2であるから，求める体積は
\begin{align*}
3 \times 2=6 \qquad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
- 点\(\textrm{Q}\)について，\(\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(4,~0,~2)\)とおくと，\(|\overrightarrow{\mathrm{OE}}|^2=20~\)であるから \begin{align*} |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2-2(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})+19\leqq 0 \\ |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2-2(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+19\leqq 0 \\ |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2-2\overrightarrow{\mathrm{OE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+19\leqq 0 \\ |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2-2\overrightarrow{\mathrm{OE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+20\leqq 1 \\ |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OE}}|^2 \leqq 1 \end{align*} よって点\(\textrm{Q}~\)は，中心が\(\textrm{E}\)で半径が1である球の球面および内部である。 点\(\textrm{P}\)が存在する範囲の四角柱の点\(\textrm{E}\)の周りの辺はすべて垂直に交わっている。よって，点\(\textrm{P}\)が存在する範囲と点\(\textrm{Q}\)が存在する範囲の共通部分は，半径1の球の体積の\(\frac18\)である。よって求める体積は \begin{align*} \frac{4\pi}{3}\times \frac18=\frac{\pi}{6}. \qquad \cdots \text{（答）} \end{align*}
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