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この記事には，久留米大学医学部の過去問の詳しい解説が載っています。過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！
解答はすでにこちらの記事で示しております。
平成29年度(2017)久留米大学医学部推薦入試数学［５］
久留米大学医学部はベクトルがお好き？
推薦入試の過去問を見ると、ベクトルは出題されやすいようです。 苦手な人はしっかり克服しておきましょう。
(1)\(~\overrightarrow{\rm{AP}}=\overrightarrow{\rm{OP}}-\overrightarrow{\rm{OA}}=(x-2, \ y-4)~\)なので，\(~|\overrightarrow{\rm{AP}} \cdot \overrightarrow{\rm{AP}} |=4~\)より \[ \begin{align*} (x-2)^2 +(y-4)^2 =4 \end{align*} \]
同じベクトルの内積なので，ちょっと戸惑うかもしれません。でも気にせずに，内積の定義通りに計算すれば答えは出ます。
ちなみに，与えられたベクトル方程式の，絶対値記号はあってもなくても答えに変わりはありません。
絶対値の取扱にも慣れておこう
(2)\(~|\overrightarrow{\rm{AP}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 4~\)を満たす領域は，円\(~(x-2)^2 +(y-4)^2 =4~\)の周上および内部である。 \( \overrightarrow{\rm{AB}}=\overrightarrow{\rm{OB}}-\overrightarrow{\rm{OA}}=(-1,~1)~\)なので，\(~|\overrightarrow{\rm{AB}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 2~\)より \[ \begin{align*} |-(x-2)+(y-4)| \leqq &~2 \\ |-x+y-2| \leqq &~2 \\ -2 \leqq -x+y-2 \leqq &~2 \\ x \leqq y \leqq &~x+4 \end{align*} \]
ここも，（１）と同様，定義通りに計算するのみです。ただ，絶対値記号のある不等式を，場合分けしようとすると混乱しそうです。解答例のようにスムーズに解きましょう。
円が絡んだ面積は，上手に分割・結合しよう
この不等式を満たす領域は，直線\(~y=x~\)と直線\(~y=x+4~\)の間および2つの直線上である。 したがって，2つの不等式 \(~|\overrightarrow{\rm{AP}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 4~\)と\(~|\overrightarrow{\rm{AB}}\cdot \overrightarrow{\rm{AP}} | \leqq 2~\)を同時に満たす領域は図の通りである。 
求める面積を\(~S~\)とすると， \[ \begin{align*} S=&\text{（半径\(2\)の円の半分）}+ \text{（1辺の長さが\(2\)の正方形）} \\ =&4 \pi \cdot \frac{1}{2} +2 \cdot2 \\ =&2\pi +4 \end{align*} \]
円が絡んだ図形の面積を求める場合，積分が必要になることもありますが，推薦入試で数Ⅲは範囲外です。
ですから，面積を求める場合には，上手に分割・結合することで，簡単な図形として計算するはずです。
今回の問題は易しかったと思いますが，他にも扇形をつくる問題なども考えられますので，いろいろなパターンを研究しておきましょう。
この問題のポイント
振り返ってみましょう。
この問題が解けるかどうかのポイントは、
- 定義に従って，内積の計算ができる
- 絶対値のある不等式をスムーズに解くことができる
- 円が絡んだ図形の面積をスマートに計算できる
といったところです。この問題は正答率が高かったようです。ベクトルが苦手な人はしっかり復習しておきましょう。
