平成31年度(2019)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答（２／５）

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過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成31年度入試では全部で５問出題されました。 そのうちの２番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成31年度(2019)推薦入試[２]

問題

解答

1. \(~2019=3\times 673~\)より，\(~2019~\)の正の約数は \begin{align*} 1,~3,~673,~2019~ \qquad \cdots \text{（答）} \end{align*}
2. \(~2019x+31y=1~\cdots [1]~\)を満たす整数解の一つとして，\(~x=8,~y=-521~\)がある。よって \begin{align*} 2019 \cdot 8 + 31 \cdot (-521)=1 \quad \cdots [2] \end{align*} \([1]-[2]~\)より \begin{align*} 2019(x-8)+31(y+521)&=0 \\ 31(y+521)&=2019(8-x) \end{align*} \(2019~\)と\(~31~\)は互いに素であるから，\(x,~y~\)がともに整数のとき，\(8-x~\)は\(~31~\)の倍数であり，\(y+521~\)は\(~2019~\)の倍数である。したがって整数\(~k~\)を用いて \begin{align*} 8-x=31k,~y+521=2019k \\ \therefore \quad x=8-31k,~y=-521+2019k \end{align*} \(~x~\)が自然数のとき，\(x\geqq 1~\)であるから \begin{align*} 8-31k \geqq 1 \\ k \leqq \frac{7}{31} \end{align*} したがって，\(x~\)の値が最小となるのは\(~k=0~\)のときであり，このとき \begin{align*} x=8,~y=-521 \qquad \cdots \textrm{（答）} \end{align*}

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