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過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和2年度入試では全部で5問出題されました。 そのうちの5番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
令和2年度(2020)推薦入試[5]
問題
次の\( (1),(2)\)の問いに答えよ。
- 整数\(x,~y\)が不定方程式\(11x+4y=1\)を満たすとき，\(|2x-y|\)の最小値は\(\boxed{ マ ~}\)である。
- \(x,~y\)は自然数とする。等式\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac12\)を変形すると \( \left( x-\boxed{ ミ ~} \right) \left( y-\boxed{ ム ~} \right)=\boxed{ メ ~}\)となる。この式を満たす\(x,~y\)の組のうち，\(x\)の値が最も大きい組は\(x=\boxed{ モ ~},~y=\boxed{ ヤ ~}\)である。また，\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac12\)と\(a^x=b^y=4096\)を同時に満たす整数\(a,~b\)の組は全部で\(\boxed{ ユ ~}\)個ある。
久留米推薦（令和2年度入試）
解答
- \(11x+4y=1 \cdots [1]\)を満たす整数の組の一つとして，\(x=-1,~y=3\)があるので \begin{align*} 11\cdot (-1)+4\cdot 3=1. \cdots [2] \end{align*} \([1]-[2]\)より \begin{align*} 11(x+1)+4(y-3)=& 0 \\ 11(x+1)=& 4(3-y) \end{align*} \(11\)と\(4\)は互いに素である整数なので，整数\(k\)を用いて \begin{align*} x+1=& 4k,~3-y=11k \\ x=& 4k-1,~y=-11k+3 \end{align*} と表せる。よって \begin{align*} |2x-y|=&|2(4k-1)-(-11k+3)| \\ =&|19k-5| \end{align*} となり，\(|2x-y|\)は\(k=0\)のとき最小値\(5 \quad \cdots \text{（答）}\)をとる。
-
与えられた等式の両辺に\(2xy\)をかけて，次のように変形する。
\begin{align*} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=&\dfrac12 \\ 2y+2x=&xy \\ xy-2x-2y=&0 \\ (x-2)(y-2)=&4 \quad \cdots \text{（答）} \end{align*}\(x,~y\)は自然数なので\(x-2 \geqq -1,~y-2 \geqq -1.\)
よって等式を満たすのは
\begin{align*} (x-2,~y-2)=(1,~4),~(2,~2),~(4,~1) \\ \therefore (x,~y)=(3,~6),~(4,~4),~(6,~3) \end{align*}したがって，このうち\(x\)の値が最も大きい組は\(x=6,~y=3. \quad \cdots \text{（答）} \)
さらに，\(a^x=b^y=4096(=2^{12})\)を満たす整数\(a,~b\)の組を考える。
\((x,~y)=(3,~6)\)のとき
\(a^x=b^y=4096\)より\(a^3=b^6=2^{12}.\)これを満たすのは \begin{align*} (a,~b)=(16,~4),~(16,~-4) \end{align*} の2組である。\((x,~y)=(4,~4)\)のとき
\(a^x=b^y=4096\)より\(a^4=b^4=2^{12}.\)これを満たすのは \begin{align*} (a,~b)=(8,~8),~(8,~-8),~(-8,~8),~(-8,~-8) \end{align*} の4組である。\((x,~y)=(6,~3)\)のとき
\(a^x=b^y=4096\)より\(a^6=b^3=2^{12}.\)これを満たすのは \begin{align*} (a,~b)=(4,~16),~(-4,~16) \end{align*} の2組である。以上より，整数\(a,~b\)の組は全部で\(8\text{個} \quad \cdots \text{（答）}\)ある。
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