平成30年度(2018)久留米大学医学部一般入試数学の過去問と解答（３／６）

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過去問を利用して、久留米大学医学部一般入試の数学について学びましょう。平成30年度は全部で６問出題されました。そのうちの３番について、問題と解答を以下にまとめています。さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。

平成30年度(2018)一般入試[３]

平成30年度(2018)一般入試[３]

問題

関数

f (x)

は，

f (x) = a x^{2} + 2 (a - 2) x + 3 a - 2

と定義されている。ただし，

a

は実数で

a ≦ 0

とする。

$f (x)$ が2次関数であるとき，頂点の $x$ の座標を $a$ を用いて表すとである。
$- 2 ≦ x ≦ 2$ における $f (x)$ の最大値はである。
方程式 $f (x) = 0$ が実数解をもつとき， $- 2 ≦ x ≦ 2$ における $f (x)$ の最小値は $a =$ のときである。

久留米一般（平成30年度）

この問題は出題ミスであり，久留米大学も

(3)

については認めています。しかし，私は

(2)

についてもおそらく出題ミスであろうと推測しています。とりあえず解答を記しますが，私の見解など詳しいことは，解説授業でお伝えいたします。

解答

$a < 0$ とする。 $\begin{array}{r} f (x) = a {x - (\frac{2 - a}{a})}^{2} + \frac{2 a^{2} + 2 a - 4}{a} \end{array}$ したがって，頂点の $x$ 座標は $\frac{2 - a}{a} . \dots （答）$
$[1] a = 0$ のとき
$f (x) = - 4 x - 2$ であるから， $f (x)$ の最大値は $f (- 2) = 6$ である。

$[2] a < 0$ のとき
$f (x)$ は上に凸の2次関数であり，軸について $x = \frac{2 - a}{a} = \frac{2}{a} - 1 < - 1$

$(i)$ $\frac{2 - a}{a} < - 2$ すなわち $- 2 < a < 0$ のとき　
$f (x)$ の最大値は $f (- 2) = 3 a + 6 \dots [1]$ である。

$(i i)$ $- 2 ≦ \frac{2 - a}{a} < - 1$ すなわち $a ≦ - 2$ のとき　
$f (x)$ の最大値は $f (\frac{2 - a}{2}) = \frac{2 a^{2} + 2 a - 4}{a}$ である。

式 $[1]$ は， $a = 0$ のとき $6$ となるので、 $a = 0$ のときも成り立つ。以上より

$- 2 < a ≦ 0$ のとき最大値 $3 a + 6$ ， $a ≦ - 2$ のとき最大値 $\frac{2 a^{2} + 2 a - 4}{a} \dots （答）$
$a = 0$ のとき， $f (x) = - 4 x - 2$ であるから方程式 $f (x) = 0$ は実数解をもつ。このとき， $f (x)$ の最小値は $f (2) = - 10.$
$a < 0$ のとき，方程式 $f (x) = 0$ が実数解をもつ条件は，頂点の $y$ 座標が $0$ 以上となることであるから $\begin{aligned} \frac{2 a^{2} + 2 a - 4}{a} ≧ 0 & かつ a < 0 \\ a^{2} + a - 2 ≦ 0 & かつ a < 0 \\ (a + 2) (a - 1) ≦ 0 & かつ a < 0 \\ - 2 ≦ a < 0 \end{aligned}$ このとき，軸の位置に注意すると $f (x)$ の最小値は $\begin{array}{r} f (2) = 11 a - 10 \dots [2] \end{array}$
式 $[2]$ は $a = 0$ とすると $- 10$ となるので， $a = 0$ のときも成り立つ。よって $- 2 ≦ a ≦ 0$ のとき， $f (x)$ の最小値は $11 a - 10$ となる。

これを $a$ の関数 $g (a) = 11 a - 10$ としたとき， $g (a)$ は $a = - 2$ のとき，最小値 $g (- 2) = - 32 \dots$ （答）をとる。

さらに詳しい解説授業もあります

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