平成29年度(2017)久留米大学医学部推薦入試数学の過去問と解答（２／５）

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この記事には，久留米大学医学部の過去問の詳しい解説が載っています。過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！

解答はすでにこちらの記事で示しております。

平成29年度(2017)久留米大学医学部推薦入試数学［２］

平成29年度(2017)久留米大学医学部推薦入試数学［２］

君は考えたことがあるか？3次方程式の解について

この問題は、実数係数の3次方程式の解についての問題です。

実数係数の3次方程式が出題されたときに、解が実数解なのか虚数解なのか、あなたは考えていますか？

様々な出題パターンはありますが、方程式だから解について問われるはずです。そこで押さえておきたいことは、解についてです。実数係数の3次方程式の解は、次のパターンしかありません。

実数解を3個持つ（重解を含む）
実数解を1個、2つの虚数解（互いに共役）を持つ

今回の問題を見れば、おそらく２のパターンであることが予想できますが、どちらにしても、少なくとも1個は実数解です。

ではその実数解は何でしょうか。

泥臭い!?代入して求める高次方程式の実数解

高次方程式の解を求めるときは、基本的に代入して探す、という泥臭い作業をしなければなりません。

では何を代入すれば解が分かるでしょうか。

何かしらの数を代入して解を探す入試問題が出題された場合、 $\pm 1, \pm 2, \pm 3$ の6個のうちのいずれかであることがほとんどです。これ以外の数が答となることはなかなか見当たりません。

ところが、これが久留米の問題の嫌らしいところなのですが、この方程式の実数解は4です。３まで代入して諦めた人は、あと一つ代入すればよかったのです。

虚数解を求めるのは簡単

z = 4

は方程式の実数解であるから，方程式の左辺は

z - 4

で割り切れる。

\begin{array}{r} (z - 4) (z^{2} + z + 6) = 0 \\ ∴ z = 4, \frac{- 1 \pm \sqrt{23} i}{2} \end{array}

真面目に計算すると損をする!?割り算してから代入しよう

$z = 4$ さえ見つければ、因数分解した上で虚数解を求めることも難しくはないでしょう。このあと、 $z^{5} - 39 z^{2} - 54 z - 160$ の実部を調べるために、 $z = 4$ のときと $z = \frac{- 1 \pm \sqrt{23} i}{2}$ のときについて計算することで、実部を比較することになります。

次のポイントは、 $z = \frac{- 1 \pm \sqrt{23} i}{2}$ のとき， $z^{5} - 39 z^{2} - 54 z - 160$ をどうやって計算するか、です。もちろん代入すれば答えは出ますが、計算が面倒くさいことは目に見えています。そこで使って欲しいのは、「割り算してから代入する」計算方法です。

z = 4

のとき，

\begin{aligned} z^{5} - 39 z^{2} - 54 z - 160 = & 4^{5} - 39 \cdot 4^{2} - 54 \cdot 4 - 160 \\ = & 24 \end{aligned}

z = \frac{- 1 \pm \sqrt{23} i}{2}

のとき，

z^{2} + z + 6 = 0

であるから

\begin{aligned} z^{5} - 39 z^{2} - 54 z - 160 = & (z^{2} + z + 6) (z^{3} - z^{2} - 5 z - 28) + 4 z + 8 \\ = & 4 z + 8 \\ = & 4 \cdot \frac{- 1 \pm \sqrt{23} i}{2} + 8 \\ = & 6 \pm 2 \sqrt{23} i \end{aligned}

解答を見て、 $z^{5} - 39 z^{2} - 54 z - 160$ を $(z^{2} + z + 6)$ で割っていることがわかるでしょうか。これは、 $z = \frac{- 1 \pm \sqrt{23} i}{2}$ を代入したときに0となる $(z^{2} + z + 6)$ で割っておくことで、代入したときに式が簡単になるように工夫しているのです。その結果は、2次式で割っているので、余りは高々1次式となります。前もって割り算さえしていれば、実際に計算するのは最後の1次式のみ。これならば計算ミスもほとんどないでしょう。

計算から解放される!?もう3乗、4乗なんてしなくてもいい

この、「割り算してから代入する」計算方法は汎用性が高く、いろいろな場面で使えるものです。この解法を授業で解説するとき、私はこんなことを言っています。「この解法を知った君たちは、もう複雑な数の3乗や4乗を計算する必要はないのだよ。割り算をしてから計算すれば、必ず1次式になるのだから」この解法がいかに重要か、を印象づけているつもりです。あなたも今後、いろいろなところで使いましょう。

この問題のポイント

振り返ってみましょう。

この問題が解けるかどうかのポイントは、

3次方程式の解について考え、 $z = 4$ が実数解であることを見つけることができる。
複雑な値を代入する前に、割り算しておくことに気付くことができる。

の２点です。計算面倒くさいなあ、と思ったら、割ってから代入することを考えて下さい。