過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和05年度入試では全部で４問出題されました。 そのうちの２番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
令和05年度(2023)推薦入試[２]
問題
箱の中に\(-3~\)と書かれたカードが3枚，\(-2~\)と書かれたカードが2枚，\(-1~\)と書かれたカードが1枚，\(1~\)と書かれたカードが1枚，\(2~\)と書かれたカードが2枚，\(3~\)と書かれたカードが3枚，合計12枚のカードが入っている。この箱の中から同時に3枚のカードを取り出し，そのカードに書かれた数字の和を\(~S~\)とする。
(1) 取り出されたカードに書かれた数字がすべて正の値である確率は\( \boxed{\Large\phantom{ppppp}} \)であり，取り出されたカードに書かれた数字のうち，少なくとも１つが負の値である確率は\( \boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)である。
(2) \(S=-9~\)または\(~S=9~\)となる確率は\( \boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)である。
(3) \(S=0~\)となる確率は\( \boxed{\Large\phantom{ppppp}} \)であり，\(S > 0~\)となる確率は\( \boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)である。
(4) \(S=0~\)であったとき，残り9枚のカードが入った箱から同時に2枚のカードを取り出し，その取り出された2枚のカードに書かれた数字の和が\(~0~\)である条件付き確率は\( \boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)である。
久留米推薦（令和05年度入試）
解答
(1) 12枚のカードのうち，数字が正の値のカードは6枚である。
よって，取り出された3枚のカードがすべて正の値である確率は
\begin{align*} \frac{_{6}\textrm{C}_{3}}{_{12}\textrm{C}_{3}}=\frac{20}{220}=\frac{1}{11} \quad \cdots \text{（答）} \end{align*}
取り出された3枚のカードのうち，少なくとも1つが負の値である確率は
\begin{align*} 1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11} \quad \cdots \text{（答）} \end{align*}
(2) \(S=-9~\)となるのは3枚とも\(-3\)のカードを取り出したときであり，\(S=9~\)となるのは3枚とも\(~3~\)のカードを取り出したときである。
よって，\(S=-9~\)または\(~S=9~\)となる確率は
\begin{align*} \frac{_{3}\textrm{C}_{3}+_{3}\textrm{C}_{3}}{_{12}\textrm{C}_{3}}=\frac{2}{220}=\frac{1}{110} \quad \cdots \text{（答）} \end{align*}
(3) \(S=0~\)となるのは，取り出した3枚のカードの組が
\[ \left\{ 1,~2,~-3\right\} \quad または \left\{ -1,~-2,~3\right\} \]
のときである。それぞれ\(~1 \times 2 \times 3 =6~\)通りであるから，\(S=0~\)となる確率は
\[ \frac{6 \times 2}{_{12}\textrm{C}_{3}}=\frac{12}{220}=\frac{3}{55} \quad \cdots \text{（答）} \]
「\(1\)と\(-1\)」「\(2\)と\(-2\)」「\(3\)と\(-3\)」のカードの枚数はそれぞれ同じなので，\(S > 0~\)となる確率と\(~S < 0~ \)となる確率は同じである。よって\(~S > 0~ \)となる確率は
\[ \left( 1-\frac{3}{55}\right) \times \frac12 =\frac{26}{55} \quad \cdots \text{（答）} \]
(4) \(S=0~\)であったとする。
はじめに取り出された3枚のカードの組が\(\{1,~2,~-3\}\)のとき，残った9枚のカードは
\[ -1,~2,-2,-2,~3,~3,~3,-3,-3 \]
であり，はじめに取り出された3枚のカードの組が\(\{-1,~-2,~3\}\)のとき，残った9枚のカードは
\[ 1,~2,~2,-2,~3,~3,-3,-3,-3 \]である。どちらにしても，残った9枚のカードから2枚取り出して数字の和が0となるのは，「\(2\)と\(-2\)」または「\(3\)と\(-3\)」を取り出すときであり，その場合の数は\(~1 \times 2 + 2 \times 3 =8~\)通りである。
したがって，求める条件付き確率は
\begin{align*}
\dfrac{8}{_{9}\textrm{C}_{2}}=\dfrac29 \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
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