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過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成30年度は全部で5問出題されました。 そのうちの4番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
平成30年度(2018)推薦入試[4]
問題
2枚のAと1枚のジョーカー，合わせて3枚のトランプカードからジョーカーを引くと勝ち，というゲームを行う。ルールは次のとおりである。
3枚のカードの絵柄が見えないようにシャッフルして裏返しにして場に並べる。あなたは3枚のカードの中から1枚をえらび，そのまま場に裏返したままで置いておく。次に親が残りの2枚を手元にとり，その中からAを1枚表向きにして場に置き，残りの1枚は裏返しにして場に置く。ここであなたは最初に選んだカードと，親が裏返しに置いた1枚を交換することができる。ただし，交換はしなくても構わない。最終的にあなたの手元にあるカードがジョーカーであった場合，あなたの勝ちとなる。
さて，(a)あなたが最初に選んだカードをそのまま持っていたほうが有利か，(b)親が裏返しに置いたカードに交換した方が有利か，(c)どちらでも勝つ確率は同じか，理由をつけて答えなさい。
久留米推薦（平成30年度）
解答
答え：(b)親が裏返しに置いたカードに交換した方が有利である
[理由] 3枚のカードを\(A_1,~A_2,~J\)とする。私はこのうちから1枚を選ぶので，その時点でどのカードを選ぶかは\(\displaystyle \frac13\)の確率である。
次に，親が開いて見せるカードについて考える。親は残りの2枚のカードを手元にとり，その中から\(A\)を1枚表向きにするので，残っている2枚のカードが何かをわかっていることになる。
私が\(A_1\)または\(A_2\)を選んでいるとき，親は残りの2枚から必ずもう一方の\(A\)を開いて見せるので，このときの確率は1である。もちろん，机に置かれた裏返しのカードは\(J\)である。
私が\(J\)のカードを選んでいるとき，親は残りの2枚のカード\(A_1,~A_2\)のどちらか一方を開いて見せる。このとき，\(A_1,~A_2\)のカードを開く確率はそれぞれ\(\displaystyle\frac12\)である。
結局，(私が選んだカード，親が開いて見せるカード)の組み合わせは，以下の4通りのみである。
- \(~(A_1,~A_2)\)
- \(~(A_2,~A_1)\)
- \(~(J,~A_1)\)
- \(~(J,~A_2)\)
1,\(~\)2の確率はそれぞれ\(\displaystyle\frac13 \times 1=\displaystyle\frac13 \)であり，3,\(~\)4の確率はそれぞれ\(\displaystyle\frac13 \times \displaystyle\frac12=\displaystyle\frac16 \)である。
したがって，私がカードを交換してゲームに勝つ確率は，1,\(~\)2の合計であるから\( \displaystyle\frac13 \times 2=\displaystyle\frac23, ~\)私が選んだカードをそのまま持っていてゲームに勝つ確率は，3,\(~\)4の合計であるから，\(\displaystyle\frac16 \times 2=\displaystyle\frac13 .\)
以上の理由より，カードを交換した方が有利である。
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コメント
なるほど。今年は記述問題が珍しいですね。
できたら福岡大学の推薦入試の問題の解説もお願いしたいです。
コメントありがとうございます。
なかなか時間が作れないのですが、福岡大学もやりたいと思っておりました。
たまさんのようなコメントがあると、力が湧いてきます。
ありがとうございました！