過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 令和05年度入試では全部で４問出題されました。 そのうちの４番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
令和05年度(2023)推薦入試[４]
問題
〔問題1〕すべての実数\(x\)で微分可能である関数\(f(x)\)が次の条件を満たしている。
- \(f'(0)=0\)
- すべての実数\(x,~p\)において等式\(f(x+p)=f(x)+f(p)+2xp-1\)が成り立つ。
- (ア) \(f(0)\)の値を求めよ。
- (イ) \(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(h)-1}{h}\)の値を求めよ。
- (ウ) 導関数\(f'(x)\)を求めよ。
[大輔：]先生，この問題すごく難しそうですね。
[先生：]そうですね。ではひとつずつヒントを与えるので，考えてみましょう。
[先生：]まず，条件(ii)は，等式\(f(x+p)=f(x)+f(p)+2xp-1\)がどんな実数を代入しても成り立つということですね。
[大輔：]そうか。じゃあ，条件(ii)は，等式\(f(x+p)=f(x)+f(p)+2xp-1\)に\(x=p=\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)を代入すると\(f(0)\)の値は\(\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)とわかりますね。
[先生：]そのとおり。では次に，(イ)ですね。大輔さんは「微分係数の定義式」は知っていますか？
[大輔：]ごめんなさい，覚えていません・・・。
[先生：]「微分係数の定義式」は覚えるのではなく，理解するものです。今から教えるので，しっかりと理解しましょう。まず関数\(f(x)\)の\(x\)が\(a\)から\(a+h\)まで変わるときの平均変化率は知っていますか？
[大輔：]それは大丈夫です。2点\((a,~f(a))\)と\((a+h,~f(a+h))\)を結んでできる直線の傾きと同じものですよね？
[先生：]そうですね。「直線の傾き」というのは大事です。では，その平均変化率において，\(h\)を限りなく0に近づけると，どのようになるかわかりますか？
[大輔：]\(a+h\)がどんどん\(a\)に近づくので，2点\((a,~f(a))\)と\((a+h,~f(a+h))\)を結んでできる直線は，点\((a,~f(a))\)における接線に近づくし，この点における接線の傾きが微分係数になりますね！
[先生：]そのとおり！
[大輔：]はい。そうすると(イ)は(ア)の結果を利用すると，「微分係数の定義式」になっていることがわかるので，\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(h)-1}{h}=\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)となりますね。
[先生：]「微分係数の定義式」が理解できれば，「導関数の定義式」も理解できるので，(ウ)もできるかな？
[大輔：]「導関数の定義式」は\(\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)ですか？
[先生：]そうです。もうこれで(ウ)もできますね。
[大輔：]できます！先生，ありがとうございました。
- \(\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\),~\(\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\),~\(\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)に当てはまる値を答えよ。
- \(\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)に当てはまる最も適当なものを，次の\(0.\)〜\(3.\)のうちから1つ選べ。
- \(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(h)}{h}\)
- \(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
- \(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(h)}{x}\)
- \(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{x}\)
(3)\(f'(x)=\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)であり，\(f(x)=\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)である。\(\boxed{\Large\phantom{ppppp}},~\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)に当てはまる最も適当なものを，次の\(0.\)〜\(7.\)のうちから1つずつ選べ。
- \(x-1\)
- \(x\)
- \(2x-1\)
- \(2x\)
- \(\dfrac{x^2}{2}-x+1\)
- \(\frac{x^2}{2}+2\)
- \(x^2-x+2\)
- \(x^2+1\)
〔問題2〕 関数\(f(x)\)がすべての実数\(x\)で微分可能であるとき， \begin{align*}\lim_{h \to 0}\frac{f(1-3h)-f(1+2h)}{h} \end{align*} を\(f'(1)\)を用いて表せ。
[大輔：]この問題も「微分係数の定義式」を利用するんですか？
[先生：]そのように見えるようになったってことは，「微分係数の定義式」を理解したってことですね。
[太郎：]できました！\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(1-3h)-f(1+2h)}{h}=\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)ですか？
[先生：]正解です！これでもうしっかりと理解できましたね。
[太郎：]はい！ありがとうございます。
(4)\(\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)に当てはまる式を\(f'(1)\)を用いて表せ。
〔問題3〕 関数\(f(x)\)がすべての実数\(x\)で微分可能であり， \(f(2)=8,~f'(2)=12\)のとき， \[ \lim_{x \to 2}\frac{4f(x)-x^2f(2)}{x-2}=\boxed{\Large\phantom{ppppp}} \] である。
(5)\(\boxed{\Large\phantom{ppppp}}\)に当てはまる値を答えよ。
久留米推薦（令和05年度入試）
解答
(1) 条件iiの式について，\(x=p=0 \quad \cdots \text{（答）}~\)を代入して
\begin{align*}
f(0)=f(0)+f(0)-1 \\
\therefore f(0)=1 \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
また，\(f(h)=f(0+h),~1=f(0)~\)であるから，微分係数の定義より
\begin{align*}
\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(h)-1}{h}= & \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} \\
= & f'(0) \\
= & 0 \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
(2) 導関数の定義は
\[
\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x) \quad [1] \quad \cdots \text{（答）}
\]
(3) 条件iiの式の\(p~\)を\(h~(h \not = 0)\)に置き換えることで
\begin{align*}
f'(x)= & \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\*
= & \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{ \left\{f(x)+f(h)+2xh-1 \right\}-f(x)}{h} \\*
= & \displaystyle\lim_{h \to 0} \left\{ \frac{ f(h)-1}{h}+2x \right\} \\*
= & f'(0) +2x \\*
= & 2x \quad [3] \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
\(f'(x)=2x\)より，\(f(x)=x^2+C~\)(\(C\)は積分定数).
\(f(0)=1~\)なので\(C=1.\quad \therefore f(x)=x^2+1 \quad [7] \quad \cdots \text{（答）}\)
(4)
\begin{align*}
\frac{f(1-3h)-f(1+2h)}{h}= & \frac{f(1+(-3h))-f(1)-f(1+2h)+f(1)}{h} \\*
= & \frac{f(1+(-3h)-f(1)}{h}-\frac{f(1+2h)-f(1)}{h} \\*
= & \frac{f(1+(-3h)-f(1)}{-3h} \cdot (-3)-\frac{f(1+2h)+f(1)}{2h} \cdot 2
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(1-3h)-f(1+2h)}{h}
= & -3f'(1)-2f'(1) \\*
= & -5f'(1) \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
(5)
\begin{align*}
\frac{4f(x)-x^2f(2)}{x-2}= & \frac{4(f(x)-f(2))-(x^2-4)f(2)}{x-2} \\*
= & 4 \cdot \frac{f(x)-f(2)}{x-2}-(x+2)f(2)
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
\displaystyle\lim{x \to 2}\frac{4f(x)-x^2f(2)}{x-2}= & 4f'(2)-4f(2) \\*
= & 4 \cdot 12-4\cdot 8 \\*
= & 16 \quad \cdots \text{（答）}
\end{align*}
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問題と解答のディスクリプション
