この記事には，久留米大学医学部推薦入試過去問の詳しい解説が載っています。
過去問を通して久留米大学医学部の数学について学べるように，授業のような解説にしています。これまで勉強してきたことを整理し、あなたの数学力をレベルアップしましょう！
解答はすでにこちらの記事で示しております。
［２］様々な手法を知っておこう！場合の数・組分けの問題
場合の数でよく出題される，組分けの問題です。どの解き方も重要なものなので，すべて解けるようになっておきましょう。
キーワードは「区別できるか，区別できないのか」です。
区別できる球を，区別できる箱に入れる場合
- Aに1個，Bに2個，Cに3個を入れるとすると，その入れ方は \begin{align*} _6 \textrm{C} _1 \times _5 \textrm{C} _2 \times _3 \textrm{C} _3=60 \text{（通り）} \end{align*} どの箱に何個の球を入れるかは\( 3!=6 \)通りあるから，求める入れ方は \begin{align*} 60 \times 6 =360 \text{（通り）}\cdots \text{（答）} \end{align*}
- Aに1個，Bに1個，Cに4個を入れるとすると，その入れ方は \begin{align*} _6 \textrm{C} _1 \times _5 \textrm{C} _1 \times _4 \textrm{C} _4=30 \text{（通り）} \end{align*} どの箱に何個の球を入れるかは\( \frac{3!}{2}=3 \)通りあるから，求める入れ方は \begin{align*} 30 \times 3 =90 \text{（通り）}\cdots \text{（答）} \end{align*}
(1)では，箱に入る球の個数が1個，2個，3個と指定されています。
ただ，箱は区別できるので，どの箱に何個入れるかは\( 3!=6 \)通りあることになります。
ですからそのうちの1つ，「Aに1個，Bに2個，Cに3個」について計算し，最後に6をかけます。
Aに1個入れるのは，6個のうち1個入れるので\(_6 \textrm{C} _1 \)通り，その一つ一つに対して，残った5個の球のうち2個をBに入れるので\( _5 \textrm{C} _2 \)通り，その一つ一つに対して，残った3個をすべてCに入れると考えます。
これで\( _6 \textrm{C} _1 \times _5 \textrm{C} _2 \times _3 \textrm{C} _3=60 \)通りです。
あとは最後に6をかけて360通りとなります。
(2)もほとんど一緒なのでわかるでしょう。
区別できない球を，区別できない箱に入れる場合
箱も球も区別できないということは，箱に入っている球の個数でしか判別できません。
ですから，個数の違いのみで分け方を数えることになります。
区別できる球を，区別できない箱に入れる場合
次は，区別できる球を区別できない箱に入れる場合です。
まず仮に，箱を区別できると考えて球を入れます。そのあと，箱の区別をなくすために，\(3!=6\)で割っています。
解答を見てみましょう。
問題集などに載っているのは上の解答でしょう。
箱のことを考えずに，どの球とどの球がペアになるかを考える，次のような解法もありますので，紹介しておきます。
6個の球を，2個ずつのペアに分けると考える。
まず番号1の球とペアになる球を，番号2から番号5の球のうち1つ選ぶので5通り。
その一つ一つについて，残った4個のうちの1個について，その球とペアになるものを選ぶと考えれば，残っているのは3個なので3通り。
したがって，2個ずつのペアに分ける方法は\(5 \times 3=15 \text{（通り）}\cdots \text{（答）} \)
区別できない球を，区別できる箱に入れる場合
まず解答を見てみましょう。あっさり解けているけれど，分かりますか？
有名な手法ですので知っている人は多いと思いますが，よく分からないままに使っている人もいるようです。ここで大事なのは「1対1に対応していることが分かるか」です。詳しく説明してみましょう。
まず〇を6個用意します。こんな感じです。 \[ 〇〇〇〇〇〇\] これを，3つに分けるため仕切りを2つ用意します。そしてすき間にその仕切りを入れると考えます。例えばこんな感じです。 \[ 〇〇｜〇｜〇〇〇 \]これは，〇が左から2個，1個，3個と並んでいるので，「Aに2個，Bに1個，Cに3個」と考えます。
並べ方が決定すれば，球の入れ方がただ1通りに決まりますし，逆に球の入れ方を決定すれば，〇と｜の並べ方が決まります。これが1対1対応です。ただし， \[〇〇｜｜〇〇〇〇\] と仕切りが並んでしまうと，Bが0個になってしまうし， \[｜〇〇｜〇〇〇〇\] と仕切りが左端にくると，Aが0個になってしまいます。
ですから，仕切りは隣り合わないよう，そして端にならないように並べる必要があります。
ということで，〇が6個並んでいるすき間の5カ所のうち2カ所に，仕切りを入れると考えるのです。
地道に場合分けして数えていけば答えは出ますけれど，この解法を知っていれば短い時間で解くことができます。ぜひマスターしておきましょう。
区別できない球を，区別できる箱に入れる場合
(1),(2)と同じパターンですが，今度は個数の指定がありません。どうすればいいでしょうか。(6)\(\quad\) (1),(2)で，区別のできる6個の球を区別できるA，B，Cの箱に「1個，2個，3個」入れる入れ方と「1個，1個，4個」入れる入れ方はそれぞれ360通り，90通りとわかっている。
あとは，「2個，2個，2個」と入れる入れ方を数えればよい。
それは，A，B，Cの順に2個ずつ入れると考えて \begin{align*} _6 \textrm{C} _2 \times _4 \textrm{C} _2 \times _2 \textrm{C} _2=90 \text{（通り）} \end{align*} したがって \begin{align*} 360+90+90=540 \textrm{（通り）} \cdots \text{（答）} \end{align*}
もし，(1),(2)のような設問がなく，いきなり(6)のような問題が出たら，次のように計算するといいでしょう。
6個の球を，A,~B,~C, いずれかの箱に入れると考えると，球の入れ方は\(3^6=729\)通り。
このうち，空き箱が2箱であるのは3通りである。
空き箱が1箱であるのは，どの箱が空き箱かで3通りで，その一つ一つについて，球を2箱に入れる入れ方は\( 2^6-2=62\)通り，すなわち\(3 \times 62=186\)通りである。
したがって求める場合の数は \( 729-(3+186)=540 \)（通り）\(\cdots \text{（答）}\)である。
この解法は，1個の球ごとに入れ方を考えています。1個の球について，A，B，Cのいずれかに入れる，と考えて3通り。これを球6個すべてについて考えると\(3^6=729\)通り，と考えるのです。
ただこの場合，空箱ができてしまうので，その分を除かなければなりません。
空箱2個の場合は簡単です。Aにすべての球が入る，Bにすべての球が入る，Cにすべての球が入る，の3通りです。
空箱1個の場合はちょっと面倒です。まず，空箱がAの場合，Bの場合，Cの場合があることを確認しましょう。そのうち空箱がAの場合を考えると，球はBかCのいずれかに入ることになります。1個につきBかCの2通りと考えれば，\(2^6\)通りとなりそうですが，これだとBが空の場合とCが空の場合を含んでしまいます。ですからこの2通りを引いて，\(2^6-2=62\)通りとなります。空き箱がBの場合，Cの場合もおなじなので，空箱が1個の場合は\(62 \times 3=186\)通りです。
あとは，全体から空き箱になる場合を除いて答えが出る，というわけです。この解法もマスターしておきましょう。
この問題のポイント
振り返ってみましょう。
この問題が解けるかどうかのポイントは、
- 組分け問題の解法を知っているか
- 区別できる・できないを考えているか
- 1対1対応の解法を理解しているか
※誤植やミスを見つけた方は，ぜひお知らせください。
