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過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成31年度入試では全部で５問出題されました。 そのうちの３番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
平成31年度(2019)推薦入試[３]
問題
実数\(~x,~y~\)が不等式\(~x^2+y^2-4x-4y+4 \leqq 0~\)を満たすとき，次の問いに答えよ。
- \(~(x-5)^2+(y-6)^2~\)のとりうる値の範囲を求めよ。
- \(~(3x+4y)^2-14(3x+4y)+50~\)のとりうる値の範囲を求めよ。
久留米推薦（平成31年度入試）
解答
与えられた不等式より \begin{align*} (x-2)^2+(y-2)^2\leqq 4 \end{align*} 座標平面においてこの不等式を満たす実数\(~x,~y~\)が存在する領域\(~D~\)は，中心\(~\rm{A}(2,~2)~\)，半径が\(~2~\)の円の円周上および内部である。- \(~d^2=(x-5)^2+(y-6)^2~\)とおくと，\(d~\)は点\(~\rm{P}(x,~y)~\)と点\(~\rm{B}(5,~6)~\)との距離\(\rm{BP}\)を表す。\(\rm{BP}~\)が最大となるのは3点\(\rm{B},~\rm{A},~\rm{P}~\)がこの順に一直線上に並ぶときであり，\(~\rm{BP}~\)が最小となるのは3点\(~\rm{B},~\rm{P},~\rm{A}~\)がこの順に一直線上に並ぶときである。
\(\quad \rm{AB}=\sqrt{(5-2)^2+(6-2)^2}=5~\)であり，円の半径は\(~2~\)であるから \begin{align*} \rm{AB}-2 &\leqq d \leqq \rm{AB}+2 \\ 3 &\leqq d \leqq 7 \\ 9 &\leqq d^2 \leqq 49 \end{align*} したがって，\((x-5)^2+(y-6)^2~\)のとりうる値の範囲は \begin{align*} 9 \leqq (x-5)^2+(y-6)^2 \leqq 49 \qquad \cdots \text{（答）} \end{align*} - まず\(~3x+4y~\)のとりうる値の範囲を調べる。
\(~3x+4y=k~\)とおくと，これは座標平面において直線\(~3x+4y-k=0~\)を表す。この直線が領域\(~D~\)と共有点をもつ条件は，円の中心\(~\rm{A}~\)と直線との距離が半径\(~2~\)以下であることである。よって \begin{align*} \frac{|3\cdot 2+ 4\cdot 2-k|}{\sqrt{3^2+4^2}} \leqq 2 \\ |k-14| \leqq 10 \\ -10 \leqq k-14 \leqq 10 \\ 4 \leqq k \leqq 24 \end{align*} \(~k~\)の値がこの範囲で動くとき， \begin{align*} (3x+4y)^2-14(3x+4y)+50&=k^2-14k+50 \\ &=(k-7)^2+1 \end{align*} は，\(k=7~\)のとき最小値\(~1~\)をとり，\(k=24~\)のとき最大値\(~290~\)をとる。 \begin{align*} \therefore \quad 1 \leqq (3x+4y)^2-14(3x+4y)+50 \leqq 290 \qquad \cdots \text{（答）} \end{align*}
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