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また,\(~k=\dfrac{y-1}{x-2}~\)より
\[
y-1=k(x-2)
\]
これは,\(\;\)座標平面において点\(~(2,~1)~\)を通り,\(~\)傾き\(~k~\)の直線を表す.
したがって,\(\;\)図２より\(~k~\)が最小となるのは,\(~\)直線\(~y-1=k(x-2)~\)が点\(~(4,~2)~\)を通るときである.
よって\(~k~\)の最小値は
\[
\dfrac{2-1}{4-2}=\dfrac12 \cdots \text{(答)}
\]
また,\(\;\)\(~k~\)が最大となるのは,\(~\)直線\(~y-1=k(x-2)~\)すなわち\(~kx-y+1-2k=0~\)が円\(~(x-4)^2+(y-3)^2=1~\)と図２のように接するときである.このとき,\(~\)この直線と点\(~(4,~3)~\)との距離が\(~1~\)となるので
\[
\begin{eqnarray*}
\dfrac{|4k-3+1-2k|}{\sqrt{k^2+1^2}}=&1 \\
|2(k-1)|=&\sqrt{k^2+1} \\
4(k-1)^2=&k^2+1 \\
3k^2-8k+3=&0
\end{eqnarray*}
\]
したがって\(~k~\)の最大値は\( \quad \dfrac{4+ \sqrt{7}}{3}\quad \cdots \text{(答)} \)
過去問を利用して、久留米大学医学部推薦入試の数学について学びましょう。 平成28年度は全部で5問出題されました。 そのうちの１番について、問題と解答を以下にまとめています。 さらに詳しい解説授業は、別の記事にしています。
平成28年度(2016)推薦入試[1]
問題
［１］ 実数\(~x,~y~\)が\(~x^2+y^2-8x-6y+24 \leqq 0,\;x-y-2 \leqq 0~\)を満たすとき，\(~k=\dfrac{y-1}{x-2}~\)の最大値と最小値を求めよ。
久留米推薦（平成28年度）
解答
\(x^2+y^2-8x-6y+24 \leqq 0,\; x-y-2 \leqq 0~\)より \[ (x-4)^2+(y-3)^2 \leqq 1,\; y \geqq x-2 \] したがって,\(\;\)座標平面において実数\(~x,~y~\)が存在する領域は図１.
また,\(~k=\dfrac{y-1}{x-2}~\)より
\[
y-1=k(x-2)
\]
これは,\(\;\)座標平面において点\(~(2,~1)~\)を通り,\(~\)傾き\(~k~\)の直線を表す.
したがって,\(\;\)図２より\(~k~\)が最小となるのは,\(~\)直線\(~y-1=k(x-2)~\)が点\(~(4,~2)~\)を通るときである.
よって\(~k~\)の最小値は
\[
\dfrac{2-1}{4-2}=\dfrac12 \cdots \text{(答)}
\]
また,\(\;\)\(~k~\)が最大となるのは,\(~\)直線\(~y-1=k(x-2)~\)すなわち\(~kx-y+1-2k=0~\)が円\(~(x-4)^2+(y-3)^2=1~\)と図２のように接するときである.このとき,\(~\)この直線と点\(~(4,~3)~\)との距離が\(~1~\)となるので
\[
\begin{eqnarray*}
\dfrac{|4k-3+1-2k|}{\sqrt{k^2+1^2}}=&1 \\
|2(k-1)|=&\sqrt{k^2+1} \\
4(k-1)^2=&k^2+1 \\
3k^2-8k+3=&0
\end{eqnarray*}
\]
したがって\(~k~\)の最大値は\( \quad \dfrac{4+ \sqrt{7}}{3}\quad \cdots \text{(答)} \)
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